Réponse acceptée !
Tu ne copie pas le modèle lui-même, mais seulement la référence du modèle. Dans ce cas, les deux JTree se partage le même modèle et le comportement décrit est normal. Nous pouvons faire une vrai copie en sérialisant l'object. Exemple:

private DefaultTreeModel copyTreeModel(DefaultTreeModel modelOriginal) {
    DefaultTreeModel modelCopy = null;
    ByteArrayOutputStream outStream = new ByteArrayOutputStream();
    try {
        ObjectOutput out = new ObjectOutputStream(outStream);
        out.writeObject(modelOriginal);
        InputStream inStreem = new ByteArrayInputStream(outStream.toByteArray());
        ObjectInput in = new ObjectInputStream(inStreem);
        modelCopy = (DefaultTreeModel) in.readObject();
    } catch (Exception ex) {
        modelCopy = modelOriginal;//en cas d'échec nous renvoyons l'original
    }
    return modelCopy;
}